《庄子·天下》有云:“不离于宗,谓之天人”。《荀子·儒效》又云:“千举万变,其道一也”。清代的谭献则在《复堂类稿·明诗》中更直接地点出:“万变而不离其宗”!确实,3D打印和3D智能数字化发展日新月异,大量的新方法层出不穷,是一本书的有限篇幅远远不能穷尽的。那么,它们的“宗”或者“道”到底是什么?本书的回答是:数学原理(和对应的几何意义)。因此,你无须奇怪最伟大的物理学家牛顿,将他那本划时代的物理学著作命名为《自然哲学的数学原理》。同样,你也可以明白为何本书将数学作为最后一章,作为“压箱底”的镇关之宝。

实际上,在数字化、智能化创造时代,数学是必不可少的。例如,3D打印的“先切片再累积”的工作原理,本质上用的就是数学中的微积分思想。在3D智能数字化中,数学用得就更多了。而且非常有意思的是,各种方法给出的数学形式往往最终都归结于最优化问题的求解:即给定一个目标函数,使得这个函数能够取得最小值。例如:

3D打印涉及的材料科学领域,最小化能量需要用到最优化方法。

在给定载荷和环境条件下,我们可用外点惩罚函数法来优化设计3D打印机的某些机械部分,以提高可靠性、减小体积、降低成本。

对于第66.2.3节中的形状编辑,我们要尽可能刚性地保持形状细节,以最小化扭曲误差,这又涉及最小二乘问题的求解。

6.4.2节中,支持向量机的数学模型可以归结为一个二次规划问题。

6.8节中,我们要设计一个最优的内部结构,既要尽可能地使质量和耗材最省(高优先级),又要使得结构尽可能地简单和不冗余(低优先级),这涉及多目标规划问题。

 下面对本书所涉及的常用数学方法做一个介绍,包括最优化方法和贝叶斯概率方法。同样,笔者仍将以最通俗易懂的话,把这些原本深奥晦涩的数学讲述清楚,你只需有最基础的高等数学知识即可。当然,如果你想进一步了解更细节的证明和推导,可参考文献[17][65][67]。本章是3D打印科研人员和3D智能数字化算法开发人员必备的高阶理论基础。


10.1  最优化理论的基本常识

关于最优化,著名的大数学家Euler(欧拉)曾说过:“Für, da das Gewebe des Universums am vollkommensten und die Arbeit eines klügsten ist Schöpfers, nichts an findet im Universum statt, in dem irgendeine Richtlinie des Maximums oder des Minimums nicht erscheint.由于宇宙组成是最完美也是最聪明造物主之产物,宇宙间万物都遵循某种最大或最小准则)”。这实际上就是说最优化无处不在。实际上,根据达尔文的进化论,大自然的万物遵循着“优胜劣汰”的法则,即在给定约束条件下(如气候、能源、地理条件),朝着最适应的方向进化。比如,猎豹所进化出的身体结构使它奔跑起来具有最优的爆发力;你也同样不必惊奇海豚的外形是光滑优美的曲面,而不是任意生成的坑坑洼洼的噪声曲面。

最优化(Optimization理论,或称为数学规划(Programming、运筹学(Operations Research),指研究数学上定义的问题的最优解,一般可归结为对目标函数(Objective Function(或称之为误差函数Error Function、代价函数Cost Function、损失函数Loss Function)求极值的问题:即对于目标函数,找到一个极值点,使得最小(或最大)。

形象地说,最优化相当于盲人爬山,如图10-1所示。盲人爬山是为了登上山顶,而最优化是为了求取极小值或极大值。盲人在登山时,只知道脚底下的情况(如当前的所在位置、地面倾斜的坡度),而看不见其他任何地方的情况。最优化在求取极值时也跟盲人一样,只知道当前点的信息(如函数值大小、一阶导数梯度的大小和方向),但不知道其他点的信息。此外,除了一阶导数信息,还可查看二阶导数Hesse矩阵,若矩阵正定(负定),则当坡度为0时,地面的弯曲是下凸的(下凹),即是谷点(峰点)。

10-1  最优化相当于盲人爬山

从图10-1中还可以看出,如果有多个山峰,盲人登上的山峰未必是最高的那座山峰。计算机也一样,对于多峰这种非凸函数,有可能求取的只是局部极值,而不是全局极值(最值)。