6.6  形状分析:优化桌面机打印精度的表现力

首先我们来观看著名的克拉尼金属板(Chladni plates实验,如图6-39所示。18世纪,德国物理学家及音乐家克拉尼在薄的金属板上撒上均匀的细沙,然后拉起小提琴。在声音的振动下,这些细沙开始“跳舞”,并从一些地方向另一些地方聚集,并最终形成各种对称的图案。克拉尼发现不同频率的声波会形成不同的图案,且频率越高则形成的图案越复杂!

 

6-39  克拉尼金属板(Chladni plates)实验 (图片来源:The Whipple Museum

由此我们知道:声音原来是“有形状的”!其实很早以前,古埃及人就把几何叫作“冻结的音乐”,他们用几何学来记录乐谱。甚至有人大胆地猜测:通过听鼓发出的声音频率,能猜出鼓的形状。(“Can one hear the Shape of a Drum?”)。虽然答案是“并不能完全对应”(存在着不唯一性),但至少可以看出:形状和频率有着极其紧密的联系。

非常类似于二维平板上的克拉尼图案,在3D形状上不同频率也对应于不同的条纹分布,如图6-40所示。同样,频率越高,则条纹的分布情况也越复杂(从左到右)。此外,我们还可发现,这些频谱条纹像是“理解了”整个形状似的,不仅随着整体形状的走势有规律地自然延展、一点儿也不错综杂乱,而且在形状对称的地方也呈现出对称的形态(见左腿和右腿区域的条纹)。我们将定义在任意流形形状的这种频谱分布称之为流形调和(Manifold Harmonics[33]

6-40  3D形状上的频谱条纹(图片来源:Bruno Lévy

提示:流形调和是定义在任意流形曲面上的Laplace-Beltrami微分算子的特征函数(Eigenfunction,其将二维平面上的离散傅立叶变换和球面上的球调和函数扩展到了三维离散曲面。
我们知道,函数的
Laplace(拉普拉斯)算子定义为它的梯度的散度,即Laplace-Beltrami微分算子则是规则域上Laplace算子在流形曲面(非规则域)上的推广,即:
              

Laplace-Beltrami
微分算子的特征模态(包括特征函数和特征值)满足Helmholtz波动方程:,其中标量称为所对应的
特征值(Eigenvalue,在有的文献里也被称为形状DNA,解称为对应于的特征函数。上式经过离散化后,可得特征值特征函数,其满足。通过流形调和变换(Manifold Harmonic TransformationMHT,原本的空(间)域坐标就可被转换成频(谱)域
坐标,即

如果我们进一步研究,还可以发现一个更有趣的现象。如图6-41所示,我们把图中的条纹图变成更精细的彩色图(由于排版原因,这里只取前3个频率分量)。本图中实际上有两个3D模型,其中下方的模型是对上方的3D模型做了一个细节保持的形变(参见本章6.2.3节),也就是局部形状细节是刚性保持的、等长不变的(Isometry Invariant。请仔细观察,可以发现:形变前后的这两个模型的频谱分布是非常相似的、几乎可以说是等同的!这个有用的性质可用于3D模型的检索(参见本章6.4.3节),以确保将形变前后的形状归类为同一个形状。

pre-result

6-41  形变前后的形状频谱分布保持相似

再举一个3D形状的例子,如图6-42所示。图(a)显示了原始的3D形状,图(b)显示了只保留形状低频部分的光滑效果(使用低通滤波函数),图(c)显示了只保留高频部分的细节增强效果(使用高通滤波函数),图(d)显示了对某些频带进行特别处理后的夸张效果(使用带通滤波函数)。

a                b                c                d

6-42  3D形状的滤波

因此,利用频谱我们可以对形状的表现力做一个层次化的展示。如图6-43所示,从左到右分别对应一个3D头像的低频和高频部分。可以看出,形状的低频部分看起来非常平滑,但缺乏细节;而形状的高频部分则细节丰富、立体感强。

6-43  基于频谱的形状细节层次化展示

我们知道,当前3D打印的主要矛盾在于有限的打印设备精度和用户期待的理想打印结果之间存在着较大的差距。而通过对3D数字形状进行智能分析将有效地缓解这一矛盾。比如通过频谱分析,可对3D形状的频域特征空间进行智能化处理,优化生成最匹配于当前打印机精度的3D数字化模型(如选用图中的某个中间状态的3D头像模型)。